В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

   Решение

Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.

   Решение

Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?

   Решение

Докажите, что  ½ (x² + y²) ≥ xy  при любых x и y.

   Решение

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Найдите радиус описанной окружности.

   Решение

За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?

   Решение

Две прямые пересекаются в точке A под углом, не равным 90^o ; B и C — проекции точки M на эти прямые. Найдите угол между прямой BC и прямой, проходящей через середины отрезков AM и BC .

   Решение

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.

   Решение

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

   Решение

Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.

   Решение

В школе провели турнир по настольному теннису. Турнир состоял из нескольких туров. В каждом туре каждый участник играл ровно в одном матче, а каждый матч судил один из не участвовавших в нем игроков.

После нескольких туров оказалось, что каждый участник сыграл по одному разу с каждым из остальных. Может ли оказаться, что все участники турнира судили одинаковое количество встреч?

   Решение

Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей; через точки деления проведены прямые, параллельные основанию.
Найдите отрезки этих прямых, заключённые между боковыми сторонами, если основание равно 20.

   Решение

Докажите, что при  x ≥ 0  имеет место неравенство  

   Решение

В таблице 8×8 одна из клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

   Решение

Обязательно ли равны два равнобедренных треугольника, у которых равны боковые стороны и радиусы вписанных окружностей?

   Решение

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Обязательно ли равны два равнобедренных треугольника, у которых равны боковые стороны и радиусы вписанных окружностей?

Подсказка

Рассмотрите "вытянутый по горизонтали" и "вытянутый по вертикали" треугольники.

Решение

Зафиксируем некоторую окружность радиуса r и будем рассматривать равнобедренные треугольники, описанные около этой окружности. Такие треугольники однозначно задаются длиной высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника. Длина этой высоты может принимать любые значение из интервала от 2r до бесконечности, причем длина боковой стороны треугольника непрерывно зависит от длины высоты. Если высота, опущенная на основание треугольника, достаточно велика, то достаточно велика и боковая сторона. Если высота достаточно мала (т.е. она "чуть больше", чем 2r), то боковая сторона также достаточно велика. Поэтому если непрерывно изменять значение высоты от 2r до бесконечности, то фиксированное достаточно большое значение длины боковой стороны будет достигаться при двух разных значениях длины высоты.

Ответ

не обязательно.

Источники и прецеденты использования