Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

   Решение

---

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60^o . Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.

   Решение

---

На сколько частей делят пространство n плоскостей, проходящих через одну точку, если никакие три не имеют общей прямой?

   Решение

---

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

Докажите, что:
а) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

   Решение

---

Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите точку M окружности, для которой угол OMA максимален.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите все целые решения уравнения  y^k = x² + x,  где k – фиксированное натуральное число, большее 1.

Подсказка

Разложите правую часть на множители и используйте взаимную простоту этих множителей.

Решение

y^k = x(x + 1).  Числа x и  x + 1  взаимно просты, поэтому x и  x + 1  являются k-ми степенями целых чисел. Ясно, что имеется ровно две пары последовательных целых чисел, являющихся k-ми степенями при  k > 1  –  (–1, 0)  и  (0, 1).  Таким образом, x может принимать только два значения: 0 и –1. Остается проверить, что оба эти значения подходят и в обоих случаях  y = 0.

Ответ

(0, 0)  и  (–1, 0).

Источники и прецеденты использования