Версия для печати
Убрать все задачи

---

У золотоискателя есть куча золотого песка массой 37 кг (и больше песка у него нет), двуxчашечные весы и две гири 1 и 2 кг. Золотоискатель умеет делать действия двух типов:

уравнивать весы, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может пересыпать часть песка с одной чаши на другую так, чтобы весы встали в равновесие;

досыпать до равновесия, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может добавить песка на одну из чаш так, чтобы весы встали в равновесие.

Конечно, каждое из этих действий он может сделать только если для этого у него хватает песка.

Как ему за два действия с весами получить кучку, в которой ровно 26 кг песка? Смешать две кучки песка, а также просто ставить что-то на весы действием не считается.

   Решение

---

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?

   Решение

---

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

   Решение

---

Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

   Решение

---

Даны 10 натуральных чисел, не превышающих 91. Докажите, что отношение некоторых двух из этих чисел принадлежит отрезку  [²/₃, ³/₂].

   Решение

Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны 10 натуральных чисел, не превышающих 91. Докажите, что отношение некоторых двух из этих чисел принадлежит отрезку  [²/₃, ³/₂].

Подсказка

Упорядочите числа по возрастанию. Может ли при этом каждое число превосходить предыдущее более чем в 1,5 раза?

Решение

  Предположим, что для некоторых чисел  a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₁₀ ≤ 91  утверждение не выполнено. Тогда каждое из чисел (кроме первого) больше предыдущего более, чем в 1,5 раза.
  a₁ ≥ 1  (числа натуральные). Отсюда последовательно получаем:  a₂ > ³/₂,  то есть  a₂ ≥ 2;  a₃ > ³/₂·2 = 3,  то есть  a₃ ≥ 4;  a₄ > 6,   то есть  a₄ ≥ 7;
a₅ ≥ 11;  a₆ ≥ 17;  a₇ ≥ 26;  a₈ ≥ 40;  a₉ ≥ 61;  a₁₀ ≥ 92.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования