В пространстве даны две пересекающиеся плоскости и . На линии их пересечения дана точка A. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости и проходящих через точку A, наибольший угол с плоскостью образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей и .

   Решение

На доске размером 8×8 двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы не появлялось закрашенных уголков из трёх клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

Известно, что сумма трех плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна 180⁰. Докажите, что все его грани - равные треугольники.

   Решение

Тема:    [ Стереометрия (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Известно, что сумма трех плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна 180⁰. Докажите, что все его грани - равные треугольники.

Подсказка

Используйте развертку.

Решение

Пусть данный тетраэдр - ABCD. Рассмотрим его развертку на плоскость ABC. Пусть грани ABD, BCD и CAD при разворачивании тетраэдра перешли в треугольники ABE, BCF и CAG. Сумма углов EAB, BAC, CAG равна 180⁰, поскольку эти углы равны трем плоским углам тетраэдра при вершине A. Следовательно, точка A лежит на прямой EG. Аналогично доказывается, что точка B лежит на прямой EF и точка C лежит на прямой FG. Таким образом, развертка представляет собой треугольник EFG. Точки A, B, C лежат на его сторонах GE, EF, FG. Кроме того EA=AG, поскольку отрезки EA и AG равны ребру AD тетраэдра. Аналогично, EB=BF и FC=CG. Это означает, что AB, CB, CA - средние линии треугольника EFG. Средние линии делят треугольник EFG на 4 равных треугольника ABE, BCF, CAG и ABC, которые равны, соответственно граням ABD, BCD, CAD и ABC тетраэдра ABCD. Итак, все грани - равные треугольники.

Источники и прецеденты использования