Условие
Решите уравнение
в положительных числах.
Подсказка
Подберите одно из решений и докажите, что других нет.
Решение
Разделим обе части уравнения на 2,
получим
.
Нетрудно проверить, что x=1/2 и x=1/4 - решения. Покажем, что других решений нет.
Найдем промежутки монотонности функции x
x. Ее производная
(x
x)'=(e
xlnx)'=(lnx+1)(e
xlnx)=(lnx+1)(x
x)
отрицательна на интервале (0, 1/e) и положительна на луче x > 1/e. Следовательно, функция x
x
монотонна на каждом из этих промежутков, и значит, всего имеется не более
двух положительных решений нашего уравнения.
Ответ
x=1/4, x=1/2.
Источники и прецеденты использования
