Информация о задаче

Задача 35541

Темы:	[	Показательные уравнения	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Корни. Степень с рациональным показателем (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Решите уравнение $2x^x=\sqrt{2}$ в положительных числах.

Подсказка

Подберите одно из решений и докажите, что других нет.

Решение

Разделим обе части уравнения на 2, получим $x^x=\sqrt{1/2}$ . Нетрудно проверить, что x=1/2 и x=1/4 - решения. Покажем, что других решений нет. Найдем промежутки монотонности функции x^x. Ее производная (x^x)'=(e^xlnx)'=(lnx+1)(e^xlnx)=(lnx+1)(x^x) отрицательна на интервале (0, 1/e) и положительна на луче x > 1/e. Следовательно, функция x^x монотонна на каждом из этих промежутков, и значит, всего имеется не более двух положительных решений нашего уравнения.

Ответ

x=1/4, x=1/2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
задача