Версия для печати
Убрать все задачи

---

Угол, образованный лучами  y = x  и  y = 2x  при  x ≥ 0,  высекает на параболе  y = x² + px + q  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

   Решение

---

Три человека A, B, C пересчитали кучу шариков четырёх цветов (см. таблицу).

При этом каждый из них правильно различал какие-то два цвета, а два других мог путать: один путал красный и оранжевый, другой – оранжевый и жёлтый, а третий – жёлтый и зелёный. Результаты их подсчётов приведены в таблице. Сколько каких шариков было на самом деле?

   Решение

---

Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.

   Решение

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.

Подсказка

Правильный шестиугольник - это пересечение двух правильных треугольников; используйте, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри правильного треугольника, до его сторон, постоянна.

Решение

Будем для краткости под сторонами шестиугольника подразумевать прямые, содержащие эти стороны. Пусть O - данная точка, а O' - ее образ при повортое на 60^o относительно центра шестиугольника. Расстояния от O до синих сторон соответственно равны расстояниям от O' до красных сторон. Но красные стороны образуют правильный треугольник, поэтому теперь утверждение задачи следует из хорошо известного факта о том, что сумма расстояний от точки внутри правильного треугольника до его сторон не зависит от выбора точки.

Источники и прецеденты использования