Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c (AB = c, BC = a, CA = b и a < b < c). На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B1 и A1, что BB1 = AA1 = c. На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C2 и B2, что CC2 = BB2 = a. Найти A1B1 : C2B2.
В треугольнике ABC ∠A = 45°, BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.
Найдите ближайшее целое число к числу x, если x = .
Доказать, что равенство x² + y² + z² = 2xyz для целых x, y и z возможно только при x = y = z = 0.
Докажите, что множество точек X, обладающих
тем свойством, что
k1A1X2 + ... + knAnX2 = c:
а) при
k1 + ... + kn 0 является окружностью или пустым множеством;
б) при
k1 + ... + kn = 0 является прямой, плоскостью или пустым
множеством.
Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство на два полупространства. Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2) и (2,1,-1).
|
|
 |
Условие
Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство
на два полупространства.
Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2)
и (2,1,-1).
Подсказка
Как задать полупространство с помощью неравенства?
Решение
Нетрудно убедиться, что одно из полупространств (то, в сторону которого
"смотрит" нормальный вектор (1,2,3)), задается неравенством
x+2y+3z>0, а другое полупространство - неравенством x+2y+3z<0.
Таким образом, чтобы понять, в каком из полупространств
лежит точка, нужно подставить ее координаты в выражение x+2y+3z
и посмотреть на знак полученного числа.
Для точек (1,2,-2)
и (2,1,-1) имеем: 1+2*2+3*(-2)=-1<0 и
2+2*1+3*(-1)=1>0.
Таким образом, они лежат в разных полупространствах.
Ответ
в разных.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
