Задача 52352

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC – в точке N. Известно, что  AC = 2,  AB = 3,  AM : MB = 2 : 3.  Найдите AN.

Подсказка

AB·CM = BC·AN.

Решение

  Поскольку точки M и N лежат на окружности с диаметром AC, то  ∠AMC = ∠ANC = 90°.
  По теореме Пифагора  MC² = AC² – AM² = 2² – (⁶/₅)² = ⁶⁴/₂₅,  BC² = MC² + BM² = ⁶⁴/₂₅ + (⁹/₅)² = ²⁹/₅.
  Следовательно,  AN = ^2S_ABC/_BC = ^AM·MC/_BC = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	14