Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеются две параллельные прямые p₁ и p₂. Точки A и B лежат на p₁, а C – на p₂. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
  а) точками пересечения высот;
  б) точками пересечения медиан;
  в) центрами описанных окружностей.

   Решение

---

Докажите, что при  x ≥ 0  имеет место неравенство  

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что  AP = BP + CP.

Подсказка

Отложите на луче AP отрезок AP₁, равный отрезку CP, и докажите, что треугольник BPP₁ – равносторонний.

Решение

  Первый способ. Отложим на луче AP отрезок AP₁, равный отрезку CP. Тогда треугольники AP₁B и CPB равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике BPP₁  BP₁ = BP,  ∠BPP₁ = ∠BPA = ∠BCA = 60°.  Поэтому  PP₁ = BP.  Следовательно,  AP = AP₁ + P₁P = BP + CP.

  Второй способ. По теореме Птолемея (см. задачу 52468)  BC·AP = AC·BP + AB·CP,  а так как  BC = AC = AB,  то  AP = BP + CP.

Замечания

Обобщение см. в задаче 55464.

Источники и прецеденты использования