Задача 52381

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В окружность вписан четырёхугольник ABCD, причём AB является диаметром окружности. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Известно, что  BC = 3,  CM = ¾,  а площадь треугольника ABC втрое больше площади треугольника ACD. Найдите AM.

Решение 1

  Пусть DK – высота треугольника ADC.  $ang;ACB = 90° (опирается на диаметр), поэтому  DK || BC.  Так как  S_ABC = 3S_ADC,  то высота  DK = ¹/₃ BC.  Следовательно, треугольник DKM подобен треугольнику BCM с коэффициентом ¹/₃.
  DM² = DK² + MK² = 1 + ¹/₁₆ = ¹⁷/₁₆.  Поскольку  AM·MC = DM·MB = 3DM²,  то  AM = ^3DM²/_MC = ¹⁷/₄.

Решение 2

  Так как синусы углов ABС и ADС равны, то из равенства  S_ABC = 3S_ADC  следует, что  AB·BC = 3AD·DC.
  BM² = BC² + MC² = 9 + ⁹/₁₆ = ^17·9/₁₆.
  Треугольники AMB и DMC подобны, поэтому  AB : DC = BM : CM.
  Треугольники AMD и BMC также подобны, поэтому  ^AM/_BM = ^AD/_BC = ^AD·DC/_AB·BC·^AB/_DC = ¹/₃ ^BM/_CM,  то есть  AM = ^BM²/_3MC = ¹⁷/₄.

Ответ

¹⁷/₄.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	43