Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.

   Решение

На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми CX, BZ, AY, была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$

   Решение

Известно, что  x + 2y + 3z = 1.  Какое минимальное значение может принимать выражение  x² + y² + z²?

   Решение

Продолжение медианы AM треугольника ABC пересекает его описанную окружность в точке D. Найдите BC, если  AC = DC = 1.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Продолжение медианы AM треугольника ABC пересекает его описанную окружность в точке D. Найдите BC, если  AC = DC = 1.

Подсказка

Треугольники DCM и BCD подобны.

Решение

Поскольку  ∠ADC = ∠B = ∠CBD,  то треугольник DCM подобен треугольнику BCD по двум углам. Следовательно,  DC : BC = CM : DC,  то есть  ½ BC² = 1.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования