ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52452
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A1 и B1 принадлежат сторонам соответственно OA и OB угла AOB, не равного 180o, и OA . OA1 = OB . OB1. Докажите, что точки A, B, A1, B1 принадлежат одной окружности.


Подсказка

Проведите окружность через три из этих четырёх точек.


Решение

Первый способ.

Проведём окружность через точки A, B и B1. Если A2 — точка пересечения прямой OA с окружностью, отличная от A, то

OA2 . OA = OB1 . OB = OA1 . OA.

Значит, точки A1 и A2 совпадают. Следовательно, точка A1 также лежит на проведённой окружности.

Второй способ.

Из условия задачи следует, что $ {\frac{OA}{OB}}$ = $ {\frac{OB_{1}}{OA_{1}}}$, поэтому треугольники AOB и B1OA1 подобны. Значит,

$\displaystyle \angle$A1B1O = $\displaystyle \angle$OAB  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle \angle$BAA1 + $\displaystyle \angle$BB1A1 = (180o - $\displaystyle \angle$OAB) + $\displaystyle \angle$A1B1O = 180o.

Следовательно, около четырёхугольника AA1B1B можно описать окружность, т.е. точки A, B, A1, B1 лежат на одной окружности.

Если точки A1 и B1 принадлежат продолжениям сторон соответственно OA и OB угла AOB, не равного 180o, и OA . OA1 = OB . OB1, то точки A, B, A1, B1 также принадлежат одной окружности.

Первый способ.

Проведём окружность через точки A, B и B1. Если A2 — точка пересечения прямой OA с окружностью, отличная от A, то

OA2 . OA = OB1 . OB = OA1 . OA.

Значит, точки A1 и A2 совпадают. Следовательно, точка A1 также лежит на проведённой окружности.

Второй способ.

Из условия задачи следует, что $ {\frac{OA}{OB}}$ = $ {\frac{OB_{1}}{OA_{1}}}$, поэтому треугольники AOB и B1OA1 подобны. Значит,

$\displaystyle \angle$A1B1O = $\displaystyle \angle$OAB  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle \angle$BAA1 + $\displaystyle \angle$BB1A1 = (180o - $\displaystyle \angle$OAB) + $\displaystyle \angle$A1B1O = 180o.

Следовательно, около четырёхугольника AA1B1B можно описать окружность, т.е. точки A, B, A1, B1 лежат на одной окружности.

Если точки A1 и B1 принадлежат продолжениям сторон соответственно OA и OB угла AOB, не равного 180o, и OA . OA1 = OB . OB1, то точки A, B, A1, B1 также принадлежат одной окружности.

Первый способ.

Проведём окружность через точки A, B и B1. Если A2 — точка пересечения прямой OA с окружностью, отличная от A, то

OA2 . OA = OB1 . OB = OA1 . OA.

Значит, точки A1 и A2 совпадают. Следовательно, точка A1 также лежит на проведённой окружности.

Второй способ.

Из условия задачи следует, что $ {\frac{OA}{OB}}$ = $ {\frac{OB_{1}}{OA_{1}}}$, поэтому треугольники AOB и B1OA1 подобны. Значит,

$\displaystyle \angle$A1B1O = $\displaystyle \angle$OAB  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle \angle$BAA1 + $\displaystyle \angle$BB1A1 = (180o - $\displaystyle \angle$OAB) + $\displaystyle \angle$A1B1O = 180o.

Следовательно, около четырёхугольника AA1B1B можно описать окружность, т.е. точки A, B, A1, B1 лежат на одной окружности.

Если точки A1 и B1 принадлежат продолжениям сторон соответственно OA и OB угла AOB, не равного 180o, и OA . OA1 = OB . OB1, то точки A, B, A1, B1 также принадлежат одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 114
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .