Информация о задаче

Задача 52454

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Противоположные стороны четырёхугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках P и Q. Найдите PQ, если касательные к окружности, проведённые из точек P и Q, равны a и b.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть DA и CB пересекаются в точке Q, BA и CD — в точке P, а окружность, описанная около треугольника ABQ, пересекает отрезок PQ в точке M.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ BMP = $\displaystyle \angle$ BAQ = $\displaystyle \angle$ BCD = 180^o - $\displaystyle \angle$ BCP,

то около четырёхугольника CBMP можно описать окружность. Тогда

QM^.QP = QC^.QB = QA^.QD = b², PM^.PQ = PA^.PB = PC^.PD = a².

Сложив почленно эти равенства, получим, что

a² + b² = QM^.QP + PM^.PQ = PQ(QM + PM) = PQ².

Ответ

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	116