В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC проведены биссектрисы AD, BE, CF.
Найдите BC, если известно, что  AB = AC = 1,  а вершина A лежит на окружности, проходящей через точки D, E и F.

Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника и теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть  BC = x.  По свойству биссектрисы треугольника  CE : AE = x : 1,  откуда  CE = ^x/_1+x.  Поскольку  CD² = CE·AC,  то  ^x²/₄ = ^x/_1+x.  Из этого уравнения находим, что  x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования