Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если  ВМ = 8 см,  KC = 1 см  и  АВ > ВС.

   Решение

В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и  10.  Найдите стороны четырёхугольника.

   Решение

Найдите все значения корней:
  a)  ;   б)  ;   в)  ;   г)  ;   д)  ;   е)  .

   Решение

Существует следующий способ проверить, делится ли данное число N на 19:
  1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
  2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;
  3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
  4) если остается 19, то 19 делится на N, в противном случае N не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.

   Решение

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

   Решение

Пусть z₁, ..., z_n – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg z < α + π.  Докажите, что
  а)  z₁ + ... + z_n ≠ 0;
  б)  ¹/_z1 + ... + ¹/_zn ≠ 0.

   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

   Решение

Найдите все числа вида 13xy45z,  которые делятяс на 792.

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Найдите  AP² + BP² + CP² + DP²  и  AB² + BC² + CD² + AD².

   Решение

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Теорема синусов ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Найдите  AP² + BP² + CP² + DP²  и  AB² + BC² + CD² + AD².

Подсказка

Обозначьте  ∠ADB = α  и выразите стороны четырёхугольника через R и α (или проведите диаметр DE).

Решение 1

  Обозначим  ∠ADB = α,  ∠BDC = β.  Тогда  AB = 2R sin α,  BC = 2R sin β,  CD = 2R cos α,  AD = 2R cos β.
  Следовательно,   AP² + BP² + CP² + DP² = AB² + DC² = 4R² sin²α + 4R² cos²α = 4R²,  AB² + BC² + CD² + AD² = 4R² + 4R² = 8R².

Решение 2

  Проведём диаметр DE. Поскольку  BD ⊥ BE  и  BD ⊥ AC,  то  BE || AC,  поэтому  CE = AB.  По теореме Пифагора   AB² + CD² = CE² + CD² = DE² = 4R².
  Аналогично  BC² + AD² = 4R².  Следовательно,  AB² + BC² + CD² + AD² = 8R²,  AP² + BP² + CP² + DP² = AB² + DC² = 4R².

Ответ

4R², 8R².

Источники и прецеденты использования