Некоторый треугольник можно вырезать из бумажной полоски единичной ширины, а из любой полоски меньшей ширины его вырезать нельзя. Какую площадь может иметь этот треугольник?

   Решение

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида Т – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

   Решение

Положительные рациональные числа a и b записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  a – b  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном k длина минимального периода десятичной записи числа  a + kb  может также оказаться равной 15?

   Решение

Заменим в произведении 100· 101·102·...·200 все числа на 150. Увеличится или уменьшится произведение? Тот же вопрос для суммы.

   Решение

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = 8.

   Решение

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = 8.

Подсказка

Проведите диаметр DD₁.

Решение

Проведём диаметр DD₁. Пусть K и K₁ — проекции точки O на хорды AB и CD₁ соответственно. Поскольку BD₁ и AC перпендикулярны DB, то BD₁ параллельно AC. Поэтому D₁C = AB и OK₁ = OK.

Поскольку OK₁ — средняя линия прямоугольного треугольника DD₁C, то

OK = OK₁ = DC = 4.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования