Задача 52492

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Погребняк В.

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведёнными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

Подсказка

Точки C и B, центр описанной окружности и точка пересечения высот лежат на одной окружности.

Решение 1

   Для определённости будем считать, что  AB > AC.  Пусть BB₁ и CC₁ – высоты, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности.

   Поскольку  ∠COB = ∠CHB = 120°,   то точки C, H, O и B лежат на одной окружности. Поэтому  ∠OHB = ∠OCB = ∠OBC = 30° = ½ ∠BHC₁.  Следовательно, луч HO – биссектриса угла BHC₁.

Решение 2

   H и O – противоположные вершины параллелограмма, образованного высотами BB₁ и CC₁ и серединными перпендикулярами к сторонам AB и AC. Расстояние между последним и высотой BB₁ равно  ½ |AC – AB|  (поскольку  AB₁ = ½ AB).  Тому же равно расстояние между другими двумя сторонами параллелограмма. Значит, этот параллелограмм – ромб. Поэтому его диагональ – биссектриса угла между сторонами.

Замечания

1. Утверждение верно и для тупоугольного (прямоугольного) треугольника.

2. Задача предлагалась также на 53-й Ленинградской олимпиаде (1987, 8 кл., зад. 1).

3. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	155
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1986/1987
Номер	8
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	4
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1987
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М1046