|
|
 |
Условие
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки M окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.
Подсказка
Расстояние от точки M, лежащей на окружности, до хорды есть среднее геометрическое расстояний от этой точки до касательных, проведённых через концы хорды.
Решение
Лемма. Если M, P и Q – три произвольные
точки данной окружности, то расстояние MK от точки M до прямой PQ равно среднему геометрическому расстояний ML и MN от M до касательных, проведённых в точках P и Q: MK² = ML·MN. (1)
Доказательство. Будем считать, что M не совпадает
с P или Q (в вырожденном случае равенство очевидно).
Представим себе, что точки P и Q зафиксированы, а M передвигается по окружности. При любом её положении углы MPL и MQK (не превосходящие, разумеется, 90°) равны по величине: каждый из них измеряется половиной дуги PM (не превосходящей полуокружности), поэтому прямоугольные треугольники MPL и MQK подобны и ML : MK = MP : MQ. (2)
(Это равенство, очевидно, сохраняется и в том случае, когда прямоугольные треугольники вырождаются в отрезки – в этот момент точка M диаметрально противоположна P.)
Точно так же доказывается, что MN : MK = MQ : MP. (3)
Из (2) и (3) следует (1).
Осталось применить лемму к точке M окружности и к каждой стороне PQ вписанного многоугольника, а затем перемножить все равенства вида (1).
