В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны α , помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса r . Найдите радиус сферы.

   Решение

В 2n-угольнике (n нечетно)  A₁...A_2n, описанном около окружности с центром O, диагонали A₁A_{n + 1}, A₂A_{n + 2},..., A_{n - 1}A_{2n - 1} проходят через точку O. Докажите, что и диагональ A_nA_2n проходит через точку O.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого по порядку относятся как: а) 2:4:5:3; б) 5:7:8:9?

Подсказка

Достаточно выяснить, равны или нет суммы противоположных углов четырёхугольника.

Решение

Для того, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противоположных углов была равна 180^o. Поскольку сумма всех четырёх углов равна 360^o, то достаточно выяснить, равны или нет суммы противоположных углов.

Ответ

а) да; б) нет

Источники и прецеденты использования