Условие
Точки M и N принадлежат боковым сторонам соответственно AB и AC равнобедренного треугольника ABC, причём MN || BC, а в трапецию BMNC можно вписать окружность. Её радиус равен R, а радиус вписанной окружности треугольника AMN равен r. Найдите
а) основание BC;
б) расстояние от точки A до ближайшей точки касания;
в) расстояние между хордами окружностей, соединяющими точки касания с боковыми сторонами трапеции BMNC.
Подсказка
Отношение радиусов окружностей, вписанных в подобные треугольники, равно коэффициенту подобия.
Решение
а) Треугольник ABC подобен треугольнику AMN с коэффициентом R/r. Следовательно (см. задачу 52700),
б) Пусть O1 и O2 – центры меньшей и большей окружностей соответственно; Q – точка касания большей окружности, а K – точка касания меньшей окружности со стороной AB. Тогда KO = 2KM = MN (см. рис.).
Треугольники AKO1 и AQO2 подобны с коэффициентом r/R. Следовательно, AK/KQ = r/R–r, AK = r/R–r·KQ = r/R–r·MN.
в) Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки O1 на O2Q, F – основание перпендикуляра, опущенного из точки K на хорду QS, соединяющую точки касания большей окружности со сторонами AB и AC. Тогда O1P = KQ = MN.
Из подобия треугольников KFQ и O1PO2 находим, что KF = KQ/O1O2·O1P = MN²/R+r = 4rR/R+r.
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 366 |
