Задача 52711

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов R и r касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, и центр которой находится в точке касания окружностей между собой.

Решение

  Пусть окружности радиусов r и R c центрами O₁ и O₂ касаются одной из сторон угла в точках A и B соответственно, а искомая окружность с центром K касается этой стороны в точке C.
  Диагонали трапеции O₁ABO₂ делятся своей точкой пересечения P в отношении  R : r.  Следовательно, точка P лежит на отрезке KC. Согласно задаче 115592 его длина равна ^2rR/_R+r.

Ответ

^2rR/_R+r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	376