Задача 52752

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В четырёхугольнике ABCD расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон AB, BC и CD, а другая – сторон AB, AD и CD. Прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках M и N и касается обеих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если периметр четырёхугольника MBCN равен 2p,  BC = a  и разность радиусов окружностей равна r.

Подсказка

Если F и Q – точки касания данных окружностей со стороной AB, то  FQ = MN.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры данных окружностей, F и Q – точки их касания со стороной AB. Тогда  FQ = MN = p – a  (см. задачи 52724 и 53131) .
  Опустим перпендикуляр O₁K на QO₂. Тогда  KO₂ = |QO₂ – FO₁| = r,  O₁O₂ = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	417