Информация о задаче

Задача 52756

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Вычисление длин дуг	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через концы дуги окружности, содержащей 120^o, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Докажите, что её длина равна длине исходной дуги.

Подсказка

Докажите, что радиус второй окружности втрое меньше радиуса первой.

Решение

Пусть R и r — радиусы данных окружностей. Тогда длина дуги, о которой говорится в условии задачи, равна ${\frac{1}{3}}$ длины окружности радиуса R, т.е. ${\frac{1}{3}}$ ^.2 $\pi$ R = ${\frac{2\pi R}{3}}$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в центрах данных окружностей и в основании перпендикуляра, опущенного из центра второй окружности на радиус первой окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла. Его катет, лежащий против угла в 30^o, равен половине гипотенузы, т.е. R - r = ${\frac{1}{2}}$ (R + r). Поэтому r = ${\frac{R}{3}}$ . Следовательно, длина меньшей окружности также равна ${\frac{2\pi R}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	421