ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52756
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Вычисление длин дуг ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через концы дуги окружности, содержащей 120o, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Докажите, что её длина равна длине исходной дуги.


Подсказка

Докажите, что радиус второй окружности втрое меньше радиуса первой.


Решение

Пусть R и r — радиусы данных окружностей. Тогда длина дуги, о которой говорится в условии задачи, равна $ {\frac{1}{3}}$ длины окружности радиуса R, т.е. $ {\frac{1}{3}}$ . 2$ \pi$R = $ {\frac{2\pi R}{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в центрах данных окружностей и в основании перпендикуляра, опущенного из центра второй окружности на радиус первой окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла. Его катет, лежащий против угла в 30o, равен половине гипотенузы, т.е. R - r = $ {\frac{1}{2}}$(R + r). Поэтому r = $ {\frac{R}{3}}$. Следовательно, длина меньшей окружности также равна $ {\frac{2\pi R}{3}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 421

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .