Докажите, что  x² + y² + 1 ≥ xy + x + y  при любых x и y.

   Решение

Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

   Решение

Докажите, что катет прямоугольного треугольника равен сумме радиуса вписанной окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся этого катета.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC катет AB равен 21, а катет BC равен 28. Окружность, центр O которой лежит на гипотенузе AC, касается обоих катетов.
Найдите радиус окружности.

   Решение

Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке K, а серединный перпендикуляр к стороне AB – в точке M (M между C и K). Найдите ∠DCK, если  ∠AKB = ∠AMB.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке K, а серединный перпендикуляр к стороне AB – в точке M (M между C и K). Найдите ∠DCK, если  ∠AKB = ∠AMB.

Подсказка

Докажите, что треугольник AMB равносторонний.

Решение

Поскольку  ∠AKB = ∠AMB,  то точки M, K, A и B лежат на одной окружности. Значит,  ∠MAB = ∠MKB = ∠AKB = ∠AMB,  поэтому  MB = AB,  а так как
MB = MA,  то треугольник AMB равносторонний. Следовательно,  ∠BKM = ∠AMB = 60°,  ∠DCK = ∠BKM – ∠KDC = 15°.

Ответ

15°.

Источники и прецеденты использования