Информация о задаче

Задача 52864

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка M, причём

$\displaystyle \angle$ AMC = 60^o + $\displaystyle \angle$ ABC, $\displaystyle \angle$ CMB = 60^o + $\displaystyle \angle$ CAB, $\displaystyle \angle$ BMA = 60^o + $\displaystyle \angle$ BCA.

Докажите, что проекции точки M на стороны треугольника служат вершинами правильного треугольника.

Подсказка

Точка M, её проекции на две стороны треугольника и вершина треугольника, общая для этих сторон, лежат на одной окружности.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции даннной точки M на стороны BC, AC и AB соответственно. Проведём три окружности: через точки M, A₁, B, C₁, через точки M, B₁, C, A₁ и через точки M, C₁, A, B₁. Тогда

$\displaystyle \angle$ B₁C₁A₁ + $\displaystyle \angle$ B₁A₁C₁ =

= ( $\displaystyle \angle$ B₁C₁M + $\displaystyle \angle$ A₁C₁M) + ( $\displaystyle \angle$ C₁A₁M + $\displaystyle \angle$ B₁A₁M) =

= ( $\displaystyle \angle$ B₁AM + $\displaystyle \angle$ A₁BM) + ( $\displaystyle \angle$ C₁BM + $\displaystyle \angle$ B₁CM) =

= ( $\displaystyle \angle$ B₁AM + $\displaystyle \angle$ B₁CM) + ( $\displaystyle \angle$ A₁BM + $\displaystyle \angle$ C₁BM) =

= 180^o - $\displaystyle \angle$ AMC + $\displaystyle \angle$ ABC =

= 180^o - ( $\displaystyle \angle$ ABC + 60^o) + $\displaystyle \angle$ ABC = 120^o.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ C₁B₁A₁ = 180^o - ( $\displaystyle \angle$ B₁C₁A₁ + $\displaystyle \angle$ B₁A₁C₁) =

= 180^o - 120^o = 60^o.

Аналогично для остальных углов треугольника A₁B₁C₁.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	531