Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Шаповалов А.В.

Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из n фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую серию фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.
  а) Докажите, что при  n = 98  первый всегда может выиграть.
  б) При каком наибольшем n первый всегда может выиграть?

Вниз   Решение

Даны окружность и точка A. Найдите геометрическое место середин хорд, высекаемых данной окружностью на всевозможных прямых, проходящих через точку A.

ВверхВниз   Решение

Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите диагональ AC, если BD = 2, AB = 1, $ \angle$ABD : $ \angle$DBC = 4 : 3.

Вверх   Решение

Задача 52970
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите диагональ AC, если BD = 2, AB = 1, $ \angle$ABD : $ \angle$DBC = 4 : 3.


Подсказка

Треугольник BAD — прямоугольный.


Решение

Пусть $ \angle$ABD = 4$ \alpha$, тогда $ \angle$DBC = 3$ \alpha$. Из прямоугольного треугольника ABD (угол A — прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр BD) находим, что

cos$\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle {\frac{AB}{BD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Поэтому

$\displaystyle \angle$ABD = 4$\displaystyle \alpha$ = 60o, $\displaystyle \alpha$ = 15o.

Тогда

$\displaystyle \angle$CBD = 3$\displaystyle \alpha$ = 45o, $\displaystyle \angle$ABC = 105o.

Пусть R — радиус окружности. Поскольку 2R = BD = 2, то

AC = 2R sin$\displaystyle \angle$ABC = 2 sin 105o = 2 sin(60o + 45o) =

= 2(sin 60ocos 45o + cos 60osin 45o) = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}$.


Ответ

$ {\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 637
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .