Задача 53001

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном секторе AOB из точки B как из центра проведена дуга OC (C – точка пересечения этой дуги с дугой AB) радиуса BO. Окружность S₁ касается дуги AB, дуги OC и прямой OA, а окружность S₂ касается дуги AB, прямой OA и окружности S₁. Найдите отношение радиуса окружности S₁ к радиусу окружности S₂.

Решение

  Пусть R – радиус сектора, P – центр окружности S₁, r – её радиус, M и D – её точки касания с дугой AB и прямой OA соответственно, x – радиус окружности S₂, Q – её центр, K и N – её точки касания с дугой AB и прямой OA соответственно. Согласно задаче 52700 а)    По теореме Пифагора
OP² = OD² + DP²,  или  (R – r)² = 4Rr + r².  Отсюда  R = 6r.  Рассмотрим два случая.
  1) Точка N лежит на продолжении отрезка OD за точку D (рис. слева). Тогда  
  По теореме Пифагора  OQ² = QN² + ON²,  то есть    или    Отсюда  

               

  2) Точка N лежит между точками O и D (рис. справа). Тогда    Это приводит к уравнению    из которого находим, что  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	668