Задача 53035

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр большей окружности, пересекает её в точках A и D, а меньшую окружность — в точках B и C. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 3 : 7 : 2.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Пусть M — точка касания, r и R (r < R) — радиусы окружностей, Q — центр большей из них. Обозначим AB = 3x, BC = 7x, CD = 2x. Тогда

R = = 6x, BQ = AQ - AB = R - 3x = 3x,

QC = R - 2x = 4x, MQ = R = 6x, QP = 2r - MQ = 2r - 6x

(где MP - диаметр меньшей окружности).

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

BQ ^. QC = MQ ^. QP, или 3x ^. 4x = 6x ^. (2r - 6x).

Из этого уравнения находим, что r = 4x. Следовательно,

= = .

Пусть M — точка касания, r и R (r < R) — радиусы окружностей, Q — центр большей из них. Обозначим AB = 3x, BC = 7x, CD = 2x. Тогда

R = = 6x, BQ = AQ - AB = R - 3x = 3x,

QC = R - 2x = 4x, MQ = R = 6x, QP = 2r - MQ = 2r - 6x

(где MP - диаметр меньшей окружности).

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

BQ ^. QC = MQ ^. QP, или 3x ^. 4x = 6x ^. (2r - 6x).

Из этого уравнения находим, что r = 4x. Следовательно,

= = .

Пусть M — точка касания, r и R (r < R) — радиусы окружностей, Q — центр большей из них. Обозначим AB = 3x, BC = 7x, CD = 2x. Тогда

R = = 6x, BQ = AQ - AB = R - 3x = 3x,

QC = R - 2x = 4x, MQ = R = 6x, QP = 2r - MQ = 2r - 6x

(где MP - диаметр меньшей окружности).

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

BQ ^. QC = MQ ^. QP, или 3x ^. 4x = 6x ^. (2r - 6x).

Из этого уравнения находим, что r = 4x. Следовательно,

= = .

Ответ

3 : 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	704