Задача 53036

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает бльшую окружность в точках A и D, а меньшую — в точках B и C. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 2 : 4 : 3.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Пусть M — точка касания окружностей, r и R (r < R) — их радиусы, O — центр меньшей из них. Обозначим: AB = 2x, BC = 4x, CD = 3x. Тогда

r = OB = OC = 2x, DO ^. OA = MO(2R - MO), или 5x ^. 4x = 2x(2R - 2x).

Следовательно,

5x = R - x, R = 6x,  = = 3.

Пусть M — точка касания окружностей, r и R (r < R) — их радиусы, O — центр меньшей из них. Обозначим: AB = 2x, BC = 4x, CD = 3x. Тогда

r = OB = OC = 2x, DO ^. OA = MO(2R - MO), или 5x ^. 4x = 2x(2R - 2x).

Следовательно,

5x = R - x, R = 6x,  = = 3.

Пусть M — точка касания окружностей, r и R (r < R) — их радиусы, O — центр меньшей из них. Обозначим: AB = 2x, BC = 4x, CD = 3x. Тогда

r = OB = OC = 2x, DO ^. OA = MO(2R - MO), или 5x ^. 4x = 2x(2R - 2x).

Следовательно,

5x = R - x, R = 6x,  = = 3.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	705