Задача 53058

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Окружность, диаметр которой равен , проходит через соседние вершины A и B прямоугольника ABCD. Длина касательной, проведённой из точки C к окружности, равна 3, AB = 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать длина стороны BC.

Подсказка

Рассмотрите два возможных случая, и в каждом из них примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Заметим, что вершина C расположена вне окружности. Пусть CK -- указанная касательная (K — точка касания). Если окружность не имеет общих точек с данным прямоугольником, кроме точек A и B, то, продолжив отрезок CB до пересечения с окружностью в точке P, получим прямоугольный треугольник ABP, гипотенуза AP которого — диаметр окружности. Поэтому

BP = = = 3.

По теореме о касательной и секущей

BC(BC + BP) = CK², или BC(BC + 3) = 9.

Отсюда находим, что

BC = ( - 1).

Если же окружность пересекает прямоугольник еще в точках, отличных от A и B, то соответствующее уравнение имеет вид

BC(BC - 3) = 9.

Его корень —

BC = ( + 1).

Ответ

(±1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	727