В параллелограмме ABCD известны диагонали AC = 15, BD = 9. Радиус окружности, описанной около треугольника ADC, равен 10. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABD.

   Решение

Известно, что в десятичной записи числа 2²⁹ все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?

   Решение

Пётр Петрович и Иван Иванович ехали вместе в поезде. Каждый из них сначала смотрел в окно, потом читал газету, потом разгадывал кроссворд и под конец пил чай. Только у Петра Петровича на каждое следующее занятие уходило вдвое больше времени, чем на предыдущее, а у Ивана Ивановича – в 4 раза. Начали смотреть в окно они одновременно и кончили пить чай также одновременно. Что делал Пётр Петрович, когда Иван Иванович приступил к кроссворду?

   Решение

Докажите, что если стороны вписанного четырёхугольника равны a, b, c и d, то его площадь S равна  ,  где p – полупериметр четырёхугольника.

   Решение

Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Площадь четырехугольника ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Формула Брахмагупты.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если стороны вписанного четырёхугольника равны a, b, c и d, то его площадь S равна  ,  где p – полупериметр четырёхугольника.

Подсказка

Выразите квадрат диагонали AC четырёхугольника ABCD из треугольников ABC и ADC.

Решение

  Пусть  AB = a,  BC = b,  CD = c,  AD = d  – стороны вписанного четырёхугольника ABCD. По теореме косинусов
a² + b² – 2ab cos∠B = AC² = c² + d² – 2cd cos∠D = c² + d² + 2cd cos∠B.
  Значит,  2(ab + cd) cos∠B = (a² + b² – c² – d²).
  С другой стороны  2S = 2S_ABC + 2S_ADC = ab sin∠B + cd sin∠D = (ab + cd) sin∠B.
  Следовательно,  (4S)² + (a² + b² – c² – d²)² = 4(ab + cd)²,  то есть  16S² = 4(ab + cd)² – (a² + b² – c² – d²)² = (2ab + 2cd + a² + b² – c² – d²)(2ab + 2cd – a² – b² + c² + d²) =
= ((a + b)² – (c – d)²)((c + d)² – (a – b)²) = (a + b + c – d)(a + b – c + d)(a – b + c + d)(b + c + d – a) = 16(p – d)(p – c)(p – b)(p – a),  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования