Задача 53107

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность, вписанная в треугольник ABC , делит медиану BM на три равные части. Найдите отношение BC:CA:AB .

Решение

Пусть K , L и N — точки касания вписанной окружности со сторонами AC , BC и AB соответственно; F и Q — точки пересечения окружности с медианой BM ( F — между B и Q ). Предположим, что точка K расположена между точками M и C . Обозначим BC = a , BF = FQ = QM = x . Тогда

BL2 = BQ· BF = 2x2.
Поэтому BL = x , BN = BL = x . Аналогично находим, что KM = x , а т.к. CL = CK , то
MC = BC = a, AC = 2a, AB = AN + NB = a + x + x = a + 2x.

Выразим медиану BM через стороны треугольника ABC :
4BM2 = 2· BC2 + 2· AB2 - AC2, или

36x2 = 2a2+2(a + 2x)2 - 4a2.
Из этого уравнения находим, что a = . Тогда
BC = a = , AC = 2a = ,

AB = a + 2x = .
Следовательно, BC:CA:AB = 5:10:13 .

Ответ

5:10:13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	776