Условие
Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 3 и BC = 4. Через точку C проведена прямая, лежащая вне треугольника и образующая с катетами углы, равные 45°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, B и касающейся этой прямой.
Решение
Заметим, что AB = 5, а высота CH = 12/5. Пусть M – точка пересечения прямой AB с указанной касательной, P – точка касания, MQ – перпендикуляр, опущенный на BC. Из подобия треугольников MBQ и ABC следует, что BQ : MQ = 4 : 3, а поскольку BQ = MQ + 4, то BQ = 16, MQ = 12, BM = 20.
Пусть O – центр окружности, R – её радиус,
F – точка пересечения OP и AB. По теореме о касательной и секущей MP² = MB·MA = 300.
Рассмотрим случай, когда P и C расположены по одну сторону от точки M. Из подобия треугольников MHC и MPF следует, что
Обозначим PF = x, тогда 300 = MP² = MF² + PF² = 49x².
По теореме о произведении отрезков хорд x(2R – x) = FB·FA = (MB – MF)(MF – MA), или откуда
Случай, когда P и C расположены по разные стороны от M, разбираются аналогично.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 781 |
