Информация о задаче

Задача 53116

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A; AB — диаметр большей окружности. Хорда BK большей окружности касается меньшей окружности в точке C. Докажите, что AC является биссектрисой треугольника ABK.

Подсказка

Докажите, что CO || AK (O — центр меньшей окружности).

Решение

Пусть O — центр меньшей окружности. Поскольку

$\displaystyle \angle$ BCO = $\displaystyle \angle$ BKA = 90^o,

то CO || AK. Поэтому $\angle$ ACO = $\angle$ KAO, а т.к. OC = OA, то треугольник COA — равнобедренный и $\angle$ ACO = $\angle$ CAO. Следовательно, $\angle$ KAC = $\angle$ CAO, т.е. AC — биссектриса треугольника ABK.

Утверждение остается верным, если AB — произвольная хорда большей окружности.

Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	785