Информация о задаче

Задача 53145

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Аналитический метод в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого четырёхугольника расположены четыре окружности, каждая из которых касается двух соседних сторон четырёхугольника и двух окружностей (внешним образом). Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите, что по крайней мере две из данных окружностей равны.

Подсказка

Отрезок общей внешней касательной к касающимся окружностям радиусов r и R, заключённый между точками касания, равен 2 $\sqrt{rR}$ .

Решение

Пусть x, y, z и t — радиусы данных окружностей, вписанных в углы A, B, C и D четырёхугольника ABCD. Расстояние между точками касания соседних окружностей со стороной AB равно 2 $\sqrt{xy}$ , со стороной BC — 2 $\sqrt{yz}$ , со стороной CD — 2 $\sqrt{zt}$ и со стороной AD — 2 $\sqrt{zt}$ .

Поскольку в данный четырёхугольник можно вписать окружность, то AB + CD = CB + AD, или

$\displaystyle \sqrt{xy}$ + $\displaystyle \sqrt{zt}$ = $\displaystyle \sqrt{yz}$ + $\displaystyle \sqrt{tx}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{y}$ ( $\displaystyle \sqrt{x}$ - $\displaystyle \sqrt{z}$ ) - $\displaystyle \sqrt{t}$ ( $\displaystyle \sqrt{x}$ - $\displaystyle \sqrt{z}$ ) = 0 $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ ( $\displaystyle \sqrt{y}$ - $\displaystyle \sqrt{t}$ )( $\displaystyle \sqrt{x}$ - $\displaystyle \sqrt{z}$ ) = 0.

Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	839