Информация о задаче

Задача 53196

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 2-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании $\alpha$ . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.

Подсказка

Диаметр одной из искомых окружностей — высота данного треугольника, а другой — разность между диаметром описанной окружности и диаметром первой искомой окружности.

Решение

Пусть CK — диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC (AC = BC, AB = a, $\angle$ A = $\angle$ B = $\alpha$ ). Тогда середина M основания AB принадлежит этому диаметру, а CM и MK — диаметры искомых окружностей.

Пусть r и x — радиусы искомых окружностей. Тогда

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$ tg $\displaystyle \alpha$ ,

x = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.ctg $\displaystyle \angle$ AKM = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$ ctg $\displaystyle \alpha$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	891