Информация о задаче

Задача 53213

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне AC остроугольного треугольника ABC взята точка D так, что AD = 1, DC = 2, а BD является высотой треугольника ABC. Окружность радиуса 2, проходящая через точки A и D, касается в точке D окружности, описанной около треугольника BDC. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что окружности касаются внешним образом. Если M — точка пересечения первой окружности с продолжением BD, то треугольники ADM и CDB подобны.

Решение

Диаметр BC окружности, описанной около треугольника BDC, виден из точки A под острым углом. Поэтому точка A лежит вне этой окружности. Следовательно, данные окружности касаются внешним образом.

Пусть P — центр окружности, проходящей через точки A и D, M — точка пересечения продолжения BD с этой окружностью, O — центр окружности, описанной около треугольника BDC. Поскольку

$\displaystyle \angle$ DAM = $\displaystyle \angle$ ADP = $\displaystyle \angle$ ODC = $\displaystyle \angle$ BCD,

то треугольники ADM и CDB подобны с коэффициентом ${\frac{AD}{DC}}$ = ${\frac{1}{2}}$ . Следовательно,

BD = 2DM = 2 $\displaystyle \sqrt{AM^{2}- AD^{2}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{16 -1}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{15}$ ,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD = $\displaystyle {\frac{3\cdot 2\sqrt{15}}{2}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{15}$ .

Ответ

3 $\sqrt{15}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	908