Задача 53214

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Касающиеся окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC угол C — прямой, а сторона CA = 4 . На катете BC взята точка D , причём CD = 1 . Окружность радиуса проходит через точки C и D и касается в точке C окружности, описанной около треугольника ABC . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение

Поскольку точка D лежит внутри окружности, описанной около треугольника ABC , то данные окружности касаются внутренним образом. Если M — отличная от C точка пересечения первой окружности с катетом AC , то MD — диаметр этой окружности,

MC = = = 2.

Пусть Q и O — середины диаметров MD и AB данных окружностей. Поскольку CMD = OCA = BAC , то треугольники MCD и ACB подобны с коэффициентом = . Следовательно,
BC = 2CD = 2, S_{Δ ABC} = BC· AC = 4.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	909