ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53237
Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Отношения площадей ]
[ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектриса AH пересекает высоты BP и CT в точках K и M соответственно, причём эти точки лежат внутри треугольника. Известно, что
BK : KP = 2  и  MT : KP = 3 : 2.  Найдите отношение площади треугольника PBC к площади описанного около этого треугольника круга.


Подсказка

Докажите, что  ∠ABP = 30°.


Решение

  Обозначим  KP = 2x.  Тогда  BK = 4x,  MT = 3x.  По свойству биссектрисы треугольника  AP : AB = 1 : 2,  поэтому  ∠ABP = 30°  и  BP = 2x.
  Из треугольников ATM и ATC находим  AT = 3xAC = 2AT = 6x.  Поэтому  PC = 4x.  Следовательно,   SPBC = ½ PC·BP = = 12x².
  По теореме Пифагора  BC = = 2x.
  Поскольку радиус описанной окружности прямоугольного треугольника PBC равен половине гипотенузы BC, то искомое отношение равно   = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 932

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .