Информация о задаче

Задача 53246

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике KLM проведена биссектриса MN. Через вершину M проходит окружность, касающаяся стороны KL в точке N и пересекающая сторону KM в точке P, а сторону LM — в точке Q. Отрезки KP, QM и LQ соответственно равны k, m и q .Найдите MN.

Подсказка

Примените формулу для биссектрисы треугольника:

MN² = KM^.LM - KN^.LN.

Решение

Обозначим KN = x, PM = y .По теореме о касательной к секущей

NL² = LQ^.LM = q(m + q), KN² = KP(KP + PM), или x² = k(k + y).

Кроме того, по свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{KM}{KN}}$ = $\displaystyle {\frac{LM}{LN}}$ , или $\displaystyle {\frac{k + y}{x}}$ = $\displaystyle {\frac{m + q}{\sqrt{q(m + q)}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{m + q}}{\sqrt{q}}}$ .

Из полученной системы находим, что

k + y = $\displaystyle {\frac{k(m + q)}{q}}$ , x = $\displaystyle {\frac{k\sqrt{m + q}}{\sqrt{q}}}$ .

По формуле для биссектрисы треугольника

MN² = KM^.LM - KN^.LN = (k + y)(m + q) - x $\displaystyle \sqrt{q(m + q)}$ = $\displaystyle {\frac{km(m + q)}{q}}$ .

Обозначим KN = x, PM = y .По теореме о касательной к секущей

NL² = LQ^.LM = q(m + q), KN² = KP(KP + PM), или x² = k(k + y).

Кроме того, по свойству биссектрисы треугольника

Из полученной системы находим, что

k + y = $\displaystyle {\frac{k(m + q)}{q}}$ , x = $\displaystyle {\frac{k\sqrt{m + q}}{\sqrt{q}}}$ .

По формуле для биссектрисы треугольника

MN² = KM^.LM - KN^.LN = (k + y)(m + q) - x $\displaystyle \sqrt{q(m + q)}$ = $\displaystyle {\frac{km(m + q)}{q}}$ .

Обозначим KN = x, PM = y .По теореме о касательной к секущей

NL² = LQ^.LM = q(m + q), KN² = KP(KP + PM), или x² = k(k + y).

Кроме того, по свойству биссектрисы треугольника

Из полученной системы находим, что

k + y = $\displaystyle {\frac{k(m + q)}{q}}$ , x = $\displaystyle {\frac{k\sqrt{m + q}}{\sqrt{q}}}$ .

По формуле для биссектрисы треугольника

MN² = KM^.LM - KN^.LN = (k + y)(m + q) - x $\displaystyle \sqrt{q(m + q)}$ = $\displaystyle {\frac{km(m + q)}{q}}$ .

Ответ

$\sqrt{\frac{km(m + q)}{q}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	941