Информация о задаче

Задача 53256

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В полукруг помещены две окружности диаметром d и D (d < D) так, что каждая окружность касается дуги и диаметра полукруга, а также другой окружности. Через центры окружностей проведена прямая, пересекающая продолжение диаметра полукруга в точке M. Из точки M проведена касательная к дуге полукруга (N — точка касания). Найдите MN.

Подсказка

Докажите, что прямая, проходящая через точки касания окружностей с данной полуокружностью проходит через точку M. Затем примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, r и R соответственно -- радиусы (r < R), A и B — точки касания с полуокружностью, C и K — точки пересечения прямой AB с первой и второй окружностью соответственно, P и Q — точки касания с диаметром полуокружности, H — центр полуокружности.

Поскольку треугольники AHB, KO₂B и AO₁C — равнобедренные, то $\angle$ ACO₁ = $\angle$ KBO₂. Поэтому O₁C || O₂B.

Пусть L — точка пересечения прямых AB и O₁O₂. Тогда

$\displaystyle {\frac{LO_{1}}{LO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{CO_{1}}{BO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{LO_{1}}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R-r}}$ .

С другой стороны, т.к. O₁P || O₂Q, то

$\displaystyle {\frac{MO_{1}}{MO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}P}{O_{2}Q}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{MO_{1}}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R-r}}$ = $\displaystyle {\frac{LO_{1}}{O_{1}O_{2}}}$ .

Следовательно, точки L и M совпадают.

По теореме о касательной и секущей

MN² = MB^.MA = $\displaystyle {\frac{R}{r}}$ ^.MC^.MA = $\displaystyle {\frac{R}{r}}$ ^.MP².

Пусть F — проекция O₁ на O₂Q. Из прямоугольного треугольника O₁FO₂ находим, что

O₁F = $\displaystyle \sqrt{OO^{2} - OF^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(R+r)^{2}-(R-r)^{2}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{rR}$ .

Из подобия треугольников MPO₁ и O₁FO₂ следует, что ${\frac{MP}{O_{1}F}}$ = ${\frac{O_{1}P}{O_{2}F}}$ . Отсюда находим, что

MP = $\displaystyle {\frac{O_{1}F\cdot O_{1}P}{O_{2}F}}$ = $\displaystyle {\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}}$ .

Следовательно,

MN² = $\displaystyle {\frac{R}{r}}$ ^. $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}}\right.$ $\displaystyle {\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2r\sqrt{rR}}{R-r}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{4R^{2}r^{2}}{(R-r)^{2}}}$ , MN = $\displaystyle {\frac{2rR}{R-r}}$ = $\displaystyle {\frac{dD}{D-d}}$ .

Ответ

${\frac{Dd}{D-d}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	951