Информация о задаче

Задача 53271

Темы:	[	Отношения площадей	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны соответственно точки B₁ и C₁, причём AB₁ : AB = 1 : 3 и AC₁ : AC = 1 : 2. Через точки A, B₁ и C₁ проведена окружность. Через точку B₁ проведена прямая, пересекающая отрезок AC₁ в точке D, а окружность — в точке E. Найдите площадь треугольника B₁C₁E, если AC₁ = 4, AD = 1, DE = 2, а площадь треугольника ABC равна 12.

Подсказка

Примените теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Решение

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

B₁D^.DE = AD^.DC₁.

Следовательно,

B₁D = AD^. $\displaystyle {\frac{DC_{1}}{DE}}$ = 1^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Поэтому

S_B₁C₁E = $\displaystyle {\frac{B_{1}E}{BD}}$ S_B₁DC₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{3}}$ S_B₁DC₁ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{3}}$ ^. $\displaystyle {\frac{DC_{1}}{AC_{1}}}$ S_AB₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ S_AB₁C₁ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{4}}$ S_AB₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AB_{1}}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AC_{1}}{AC}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{4}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.12 = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{2}}$ .

Ответ

${\frac{7}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	966