С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A₁C₁. Прямые AD и A₁C₁ пересекаются в точке K. Докажите, что  2A₁K = |b – c|.

   Решение

Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.

   Решение

Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.

Подсказка

Пусть AE и BD – биссектрисы треугольника ABC и  ∠B = 120°.  Тогда BE – биссектриса угла DBK, смежного с углом ABD.

Решение

Пусть AE, BD и CM – биссектрисы треугольника ABC и  ∠B = 120°.  На продолжении стороны AB за точку B возьмём точку K. Поскольку
∠EBK = 180° – 120° = 60° = ∠DBE,  то BE – биссектриса угла DBK, смежного с углом ABD. Поэтому точка E равноудалена от прямых AB и DB, а так как она лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от прямых AB и CD. Значит, точка E равноудалена от сторон угла BDC, то есть DE – биссектриса угла BDC. Аналогично DM – биссектриса угла ADB. Следовательно,  ∠MDE = ½ (∠ADB + ∠BDC) = 90°.

Источники и прецеденты использования