Окружность с центром O проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает сторону AC в точке M и сторону BC в точке N. Углы AOM и BON равны 60^o. Расстояния от точки N до прямой AB равно 5. Отрезок MN в четыре раза меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

   Решение

Дана незамкнутая ломаная ABCD, причём  AB = CD,  ∠ABC = ∠BCD  и точки A и D расположены по одну сторону от прямой BC. Докажите, что  AD || BC.

   Решение

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана незамкнутая ломаная ABCD, причём  AB = CD,  ∠ABC = ∠BCD  и точки A и D расположены по одну сторону от прямой BC. Докажите, что  AD || BC.

Подсказка

Пусть AC и BD пересекаются в точке O. Докажите равенство углов при общей вершине O равнобедренных треугольников AOD и BOC.

Решение

Пусть AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники ABC и DCB равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  ∠BAC = ∠BDC,  а так как
∠AOB = ∠DOC,  то  ∠ABO = ∠DCO.  Значит, равны треугольники AOB и DOC (по стороне и двум прилежащим к ней углам), поэтому  AO = DO  и  BO = CO. Углы при общей вершине O равнобедренных треугольников AOD и BOC равны, поэтому равны и углы при их основаниях:  ∠ACB = ∠CAD.  Следовательно,  AD || BC.

Источники и прецеденты использования