а)  1 < cos + cos + cos 3/2;
б)  1 < sin(/2) + sin(/2) + sin(/2) 3/2.

   Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

   Решение

а) На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх?
б) Тот же вопрос, если монет 20, а разрешается переворачивать по 19.

   Решение

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке K. Известно, что  AC || BD.  Докажите, что треугольники AKC и BKD равнобедренные.

Подсказка

Через точку A проведите прямую, параллельную CD.

Решение

Через точку A проведём прямую, параллельную CD, до пересечения с продолжением отрезка BD в точке M. Треугольники AMD и DCA равны по стороне
(AD – общая) и двум прилежащим к ней углам, поэтому  AM = CD = AB.  Значит, треугольник BAM – равнобедренный. Следовательно,
∠KDB = ∠AMB = ∠ABM = ∠KBD,  то есть треугольник DKB также равнобедренный. Далее очевидно.

Источники и прецеденты использования