Задача 53463

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что биссектрисы двух внешних углов и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке.

Подсказка

Биссектриса угла есть геометрическое место внутренних точек угла, равноудалённых от его сторон.

Решение

Рассмотрим точку O пересечения биссектрис внешних углов CBM и BCN при вершинах B и C треугольника ABC. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла CBM, то она равноудалена от прямых BC и AB; поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BCN, она равноудалена от прямых BC и AC. Поэтому точка O равноудалена от сторон угла BAC. Следовательно, она лежит на биссектрисе угла BAC.

Замечания

Точка O является центром вневписанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1192