Внутри равнобокой трапеции ABCD с основаниями BC и AD расположена окружность ω с центром I, касающаяся отрезков AB, CD и DA. Описанная окружность треугольника BIC вторично пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что прямая CE касается окружности ω.

   Решение

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.

Подсказка

Соедините указанные середины сторон с серединой третьей стороны четырёхугольника.

Решение

  Пусть M, N и K – середины сторон AB, CD и AD четырёхугольника ABCD, причём прямая MN образует равные углы с диагоналями.
  Поскольку MK и KN – средние линии треугольников ABD и ACD, то  ∠KMN = ∠KNM.  Поэтому треугольник MKN – равнобедренный,  KM = KN.  Следовательно,  AC = BD.

Источники и прецеденты использования