Задача 53557

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Прасолов В.В.

Пусть P и Q – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что если MN и PQ перпендикулярны, то  BC = AD.

Решение

Поскольку MQ и PN – средние линии треугольников ACD и ABD соответственно, то  MQ || PN  и  MQ = PN.  Поэтому четырёхугольник  PMQN – параллелограмм, а так как его диагонали перпендикулярны, то это ромб. Следовательно,  BC = 2PM = 2PN = AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1287