Задача 53601

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Биссектриса угла C треугольника ABC делит сторону AB на отрезки, равные a и b  (a > b).  Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Подсказка

Треугольники DAC и DCB подобны.

Решение

  Пусть CM – биссектриса треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  BD = x,  CD = y.

  Первый способ. По свойству биссектрисы треугольника  AC : CB = AM : MB = a : b.
  Из равенства углов A и BCD следует подобие треугольников DAC и DCB, значит,  BD : CD = CD : AD = CB : AC = b : a,  или  ^x/_y = ^y/_x+a+b = ^b/_a.  Из этой системы находим, что  y = ^ab/_a–b.

               

  Второй способ. Обозначим  ∠C = 2γ,  ∠BCD = ∠A = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠CMD = γ + β = ∠DCM,  то есть треугольник DCM равнобедренный,  y = DM = BD + BM = x + b.  По теореме о касательной и секущей  y² = x(x + a + b) = (y – b)(y + a),  откуда  y = ^ab/_a–b.

Ответ

^ab/_a–b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1342