В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

   Решение

Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.

   Решение

Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?

   Решение

Докажите, что  ½ (x² + y²) ≥ xy  при любых x и y.

   Решение

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Найдите радиус описанной окружности.

   Решение

За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?

   Решение

Две прямые пересекаются в точке A под углом, не равным 90^o ; B и C — проекции точки M на эти прямые. Найдите угол между прямой BC и прямой, проходящей через середины отрезков AM и BC .

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две прямые пересекаются в точке A под углом, не равным 90^o ; B и C — проекции точки M на эти прямые. Найдите угол между прямой BC и прямой, проходящей через середины отрезков AM и BC .

Решение

Поскольку отрезок AM виден из точек B и C под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром AM . Центр O этой окружности — середина отрезка AM . Пусть K — середина отрезка BC . Тогда прямая OK перпендикулярна прямой BC , т.к. диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Ответ

90^o .

Источники и прецеденты использования